Résultats
A) Résultats de la simulation 2-D ( méthode d'Euler )
Ce modèle informatique a donné des résultats précis et reproductibles. En absence de champ électromagnétique, les trajectoires obtenues sont des lignes droites très similaires aux observations de la chambre de Wilson. La parabole montrée ci-dessous indique l'effet d'un champ électrique uniforme sur la trajectoire de la particule, identique à l'effet de la pesanteur sur un objet en déplacement.
Ce modèle est correct pour les cas les plus simples, qui produisent des trajectoires planes dans le cas d'un champ électrique uniforme et d'un champ magnétique uniforme perpendiculaire à ce plan. Il est difficile de tenir compte de toute la complexité des champs magnétiques dans un modèle 2-D, même si une tentative a été faite pour modifier l'intensité du champ magnétique en fonction de la position de la particule. Le programme était initialement très lent à exécuter. Le calcul de tous les points à l'avance avant leur traçage a permis d'augmenter la vitesse de traitement.
Figure 6: Tracé de la trajectoire d’une particule traversant un champ électrique uniforme
Ce modèle informatique a donné des résultats précis et reproductibles. En absence de champ électromagnétique, les trajectoires obtenues sont des lignes droites très similaires aux observations de la chambre de Wilson. La parabole montrée ci-dessous indique l'effet d'un champ électrique uniforme sur la trajectoire de la particule, identique à l'effet de la pesanteur sur un objet en déplacement.
Ce modèle est correct pour les cas les plus simples, qui produisent des trajectoires planes dans le cas d'un champ électrique uniforme et d'un champ magnétique uniforme perpendiculaire à ce plan. Il est difficile de tenir compte de toute la complexité des champs magnétiques dans un modèle 2-D, même si une tentative a été faite pour modifier l'intensité du champ magnétique en fonction de la position de la particule. Le programme était initialement très lent à exécuter. Le calcul de tous les points à l'avance avant leur traçage a permis d'augmenter la vitesse de traitement.
Figure 6: Tracé de la trajectoire d’une particule traversant un champ électrique uniforme
NB. Le rectangle rouge représente le canon à particules.
B) Résultats de la simulation 3-D ( méthode d'Euler )
Ce modèle informatique a donné des résultats précis et reproductibles qui sont corrects dans la majorité des cas. Il a incorporé l'équation du champ d'induction magnétique d'un dipôle, ainsi que les cas de champ électrique et magnétique uniforme. Par exemple, dans la Figure 7, la simulation montre la trajectoire d’une particule dans un champ électromagnétique uniforme.
Figure 7: Tracé en 3D de la trajectoire d’une particule chargée dans un champ électromagnétique uniforme
B) Résultats de la simulation 3-D ( méthode d'Euler )
Ce modèle informatique a donné des résultats précis et reproductibles qui sont corrects dans la majorité des cas. Il a incorporé l'équation du champ d'induction magnétique d'un dipôle, ainsi que les cas de champ électrique et magnétique uniforme. Par exemple, dans la Figure 7, la simulation montre la trajectoire d’une particule dans un champ électromagnétique uniforme.
Figure 7: Tracé en 3D de la trajectoire d’une particule chargée dans un champ électromagnétique uniforme
Cependant, ce modèle était inexacte dans un petit nombre de cas. Par exemple, la simulation montrant l'effet d'un champ magnétique uniforme sur la trajectoire d'une particule doit donner lieu à un cercle parfait comme dans la simulation 2-D. Les résultats obtenus par ce modèle en violet dans la Figure 8 ont indiqué que la simulation numérique était inexacte.
Figure 8: Tracés en 3D comparant la trajectoire d’une particule chargée dans un champ magnétique uniforme en utilisant la méthode Euler (violet) et RK-4 (vert)
Figure 8: Tracés en 3D comparant la trajectoire d’une particule chargée dans un champ magnétique uniforme en utilisant la méthode Euler (violet) et RK-4 (vert)
La méthode d'Euler résout l'équation différentielle ordinaire en approximant la solution par une série de segments de droite: chaque segment est dérivé en utilisant la tangente de la trajectoire (vitesse) au point de départ pour obtenir le point final. Cette méthode est précise à 100% pour les lignes droites . Cependant, l'erreur générée par cette méthode peut s'accumuler à chaque itération et devenir importante . D'autre part, sa mise en œuvre est très facile et simple. Un exemple de ce modèle 3-D se trouve dans la Figure 7 où une particule se déplace à travers un champ électrique et magnétique uniforme.
C) Résultats de la simulation 3-D ( méthode de Runge-Kutta )
Ce modèle a donné des résultats précis et reproductibles avec une augmentation du niveau de la précision. Ce modèle permet de résoudre l'équation différentielle ordinaire mentionnée ci-dessus à l'aide de Runge-Kutta 4, une méthode du quatrième ordre. Elle est à la fois plus compliquée et plus précise car elle interpole la trajectoire à chaque itération en utilisant non seulement la vitesse au point de départ ( comme dans la méthode d'Euler ), mais également celles à plusieurs points intermédiaires pour calculer la valeur du point d'arrivée. Lors de l'exécution de la même simulation montrant l'effet d'un champ magnétique uniforme sur la trajectoire de particule, le modèle utilisant Runge-Kutta 4 donne un cercle parfait (en vert dans la Figure 8 ) comparé avec la méthode moins précise d'Euler ( en violet dans la Figure 8) . Cette amélioration en précision sera appliquée à tous les scénarios possibles, y compris la simulation avec le dipôle. La simulation 3-D de dipôle est illustrée dans la Figure 9 où les deux particules ( vert et violet ) devraient atteindre la position du dipôle (point rouge ) en absence d'un moment magnétique.
Figure 9: Tracés en 3D comparant la trajectoire de deux particules chargées qui traversent le champ magnétique crée par un dipôle
NB. Le point rouge représente l’emplacement du dipôle dont le moment est orienté selon l'axe vertical
Les figures 10 à 12 montrent des applications complexes de cette simulation qui modélisent des faisceaux de particules en trois configurations différentes: horizontale, verticale et carrée. La ligne verte représente la trajectoire de la particule centrale de coordonnées (0, 0).
NB. Le point rouge représente l’emplacement du dipôle de moment vertical dans les figures 10-12.
Figure 10: Tracés en 3D d’un faisceau de particules dans une configuration horizontale traversant le champ magnétique d’un dipôle
Les figures 10 à 12 montrent des applications complexes de cette simulation qui modélisent des faisceaux de particules en trois configurations différentes: horizontale, verticale et carrée. La ligne verte représente la trajectoire de la particule centrale de coordonnées (0, 0).
NB. Le point rouge représente l’emplacement du dipôle de moment vertical dans les figures 10-12.
Figure 10: Tracés en 3D d’un faisceau de particules dans une configuration horizontale traversant le champ magnétique d’un dipôle
Figure 11: Tracés en 3D d’un faisceau de particules dans une configuration verticale traversant le champ magnétique d’un dipôle
Figure 12: Tracés en 3D d’un faisceau de particules dans une configuration carrée traversant le champ magnétique d’un dipôle
Cette dernière simulation qui montre la trajectoire de particules dans un faisceau carré est similaire aux trajectoires des particules du faisceau émis par le canon à particules que nous avons crée.
Bilan
Pour résumer les résultats de la simulation informatique :
Un modèle basé sur des lois de la physique découvertes par des années d'expérimentation résout des équations différentielles ordinaires en utilisant la méthode Runge-Kutta 4 pour produire la visualisation précise des trajectoires de particule qui simulent une grande variété de situations hypothétiques et expérimentales.
Un modèle basé sur des lois de la physique découvertes par des années d'expérimentation résout des équations différentielles ordinaires en utilisant la méthode Runge-Kutta 4 pour produire la visualisation précise des trajectoires de particule qui simulent une grande variété de situations hypothétiques et expérimentales.